为什么规定a0=1？

在数学中常会遇到几个相同的数相乘，为此引入了乘方运算，并用符号an来表示，如75=7×7×7×7×7。an中的n称为指数，指同一数连乘的次数。

按照乘方的定义，a0（a≠0）等于什么呢？如果把这一式子理解为a自乘0次的结果，那么这个结果是多少？不必奇怪，我们无法确定出答案。因为乘方的定义中，指数是正整数。因此，当我们把指数由正整数推广至0时，就无法套用原有的定义。但奇妙的是，可以借助于乘方的最初定义给出a0的恰当结果。让我们回到正整数次幂，看看乘方具有的运算性质。

从一个简单的例子出发：

75×73=（7×7×7×7×7）×（7×7×7）=78.

对此，有更简单的算法，

75×73=75+3=78.

一般地，我们有

am·an=am+n.

类似地，

即

一般地，我们有

由于0不能做除数，我们还要求a≠0。

从乘方的运算法则中我们看到了计算a0的方法。事实上，取相同的指数，我们有：

由于等于1，因此就得到a0=1（a≠0）。

在上面定义的基础上，我们还可以把指数推广至负整数。因为a-n·an=a0=1，因此有

再进一步，可以将乘方中的指数推广到分数指数。这只需要承认一个前提，当指数是分数时，乘方的运算法则仍然成立。于是有

这个式子意味着两个相乘或者说平方后等于a。想一下，谁平方后等于a？没错，是。因此我们可以自然地定义：

按照同样的思路，就可以给出指数为一般分数时的定义。如果学习了极限，还可以把指数推广到任意实数。不过分数指数和无理数指数对a往往有较多限制。

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