为什么将实数分为有理数和无理数？
公元前6世纪的一天，古希腊数学家毕达哥拉斯走过一个铁匠铺，听到锤子敲打着铁块，发出悦耳的和声。于是，他跑进铁匠铺对锤子进行分析，认识到那些彼此音调和谐的锤子有一种简单的数学关系——它们的质量相互之间成简单比。具体点说，那些重量等于某一把锤子重量的1/2，1/3，1/4的锤子都能产生和谐的声响。另一方面，那把和任何别的锤子一起敲打时总发出噪声的锤子，它的重量和别的锤子的重量之间不存在这种简单整数比关系。
毕达哥拉斯在琴弦上重复了这一试验，并得出相同的发现：当琴弦被分成的两段长度是简单整数之比时，琴弦能发出更好听的音调。音调的和谐竟由整数的比决定！来自音乐的这一发现给毕达哥拉斯很大的启迪。后来，他把行星的运动也归结为整数的比。
毕达哥拉斯在这些发现的基础上宣称：万物皆数，即整个世界都可以用整数或整数的比来解释。这成为他及其领导的毕达哥拉斯学派的信条。
他们的这一观念体现在几何中就是：任何两条线段都是可公度的。这里先对这个陌生的概念解释一下。设两条线段长度分别是a与b，如果可以找到一条长度为d的小线段，使a可以分成d的某整数倍，比如n倍，即a=nd；同时使b可以分成d的另一整数倍，比如m倍，即b=md，此时，就称线段a与b是可公约或可公度的（d就是两者的共同度量单位）。事实上，用我们熟悉的语言表述就是，任意两条线段长度之比是整数或是一个分数。
这一非常符合常识与直觉的结论，似乎是无可怀疑的，而且在当时也被古希腊人所普遍接受。转折是从毕达哥拉斯证明勾股定理后开始的。毕达哥拉斯的一个学生希帕索斯在研究老师的著名成果时，想到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可公度的呢？经过认真的思考，希帕索斯意外地发现这两条线段不存在共同的度量单位：不管度量单位取得多小，都不可能成为正方形的边与对角线的共同度量单位。一句话，正方形的边和对角线是不可公度的！或者说，正方形对角线与边长的比（即我们所熟知的 ）既不是一个整数，也不是分数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数。
这一发现对毕达哥拉斯及其学派来说完全是致命的，它彻底推翻了他们的数学与哲学信条。据传说，希帕索斯因为把发现泄漏出去，而被毕达哥拉斯的信徒扔进大海里淹死了。
在希帕索斯之后，人们发现了许多与 一样的数。后来，这类数被统称为“无理数”，与之相对，人们原来接受的数（整数或整数的比）被称为“有理数”。而“有理”与“无理”的术语在古希腊人那里原意是指“可比的”与“不可比的”。在后来转译的过程中，在“可比的”这个含义之外，派生出“有理（合乎情理）”与“无理（不合情理）”的含义。再后来，中国在转译时就将其译成了“有理数”和“无理数”，大家也就不太知道它们原来的意思是“可比数”与“不可比数”了。
【知识点】第一次数学危机
的出现在古希腊数学界掀起了一场巨大风暴，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，引发了西方数学史上一场大风波，史称“第一次数学危机”。第一次数学危机表明，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊人的数学观念受到极大的冲击。从此，几何学开始在古希腊数学中占有特殊地位。人们如果遇到二次方程或别的代数问题中出现无理数，就把它变为一个几何问题进行处理。
为什么A4纸的长宽比是 ∶1
在日常生活中，我们经常与A4纸打交道，这种纸的标准尺寸是210毫米×297毫米。算一下它的长宽比： 若取两张A4纸，沿着纸的长边把它们拼在一起，可以得到一张大纸，尺寸是：420毫米×297毫米。再算一下它的长宽比：
大纸与小纸的长宽比基本不变，而且都与 相当接近。这是否是巧合？事实上，如果一张纸具有理想的长宽比 那么它会把自己的长宽比“遗传”给“下一代”。具体来说就是：最初大长方形纸的长宽比为 把这样的大纸沿长边对折后得到的小长方形纸长宽比为 即仍为 这样的操作还可以重复多次，A系列纸正是通过这种方式得到的。
在A系列纸中，原始纸称为A0，它的尺寸规格是1189毫米×841毫米。简单计算可得它的面积接近1平方米，而长宽比非常接近 把A0纸沿长边对折裁开，于是得到A1纸，其规格为841毫米×594毫米。对A1进行同样的操作，就得到A2纸，其规格为594毫米×420毫米，以此类推，即可得到A系列型号的纸。
那么选择长宽比为 的纸在实际中有什么好处呢？简单说来，用具有这种性质的纸张备料没有剩余的碎纸边，可避免浪费，从而降低再生产的成本并提高工效。
我们现在普遍采用的纸的型号除A系列外，还有B系列。对B系列而言，原始纸B0的规格是1456毫米×1030毫米，这是按长宽比： 、面积1.5平方米确定的。对它反复进行对折裁开操作，可依次得到B1、B2等一系列B型号的纸。
【发散思维】如何证明不是有理数？
