为什么我们需要复数？
大家知道，形如a+bi的数称为复数，其中a，b是实数，而i代表 复数和我们通常所认识的实数有很大不同，似乎在我们的现实世界中也遇不到这样的数。为什么我们非要引进这样的数不可呢？
ax2+bx+c=0
时，如果∆=b2-4ac＜0，则方程有一对共轭复数根。不错，引入复数使得∆＜0时也有根了，但此时方程在实数范围内没有根可能更符合实际，人为地引入看不见摸不着的复数根似乎也没有必要。
历史上，复数是在16世纪由意大利数学家卡尔达诺引进的。他引进复数最主要目的是为了求解三次代数方程。为此，我们先看一个例子，考虑三次方程
x3-7x+6=0.
容易验证，上述方程有3个实根：x=1，x=2和x=-3。由于三次方程最多有3个不同的根，所以上述3个根就是该方程的全部根。
卡尔达诺当时已经知道形如
x3+px+q=0
其中 现在，对方程x3-7x+6=0应用上述求根公式，这时p=-7，q=6， 这样，在上面的公式中，就必须处理像 这样的数，才能最终得到3个实根。
卡尔达诺注意到，当∆＜0时，为了求得三次方程的根（哪怕是实数根），人们也无法躲过对负数开方的运算，而不得不处理由负数开方所产生的新的数，比如像前面的 这样，卡尔达诺把一类新的数引入了数学。这就是当今我们称之为复数的数。
当时的人把这种数统一写成 的形式，其中a与b是实数。后来，欧拉建议用i来替代 ，于是便有了今天复数的表示：a+bi。
复数被引入数学之后，不但从此“留下不走了”，而且其用处不断扩大。复数不仅用于解三次或四次方程，还用于三角函数的计算。著名的棣莫佛公式
就是一例。在其中取n=2和n=3就可得到三角函数的倍角公式和三倍角公式，并且由此还可得到n倍角公式。有很多实数域中的问题，通过复数域可以简单或巧妙地解决。对此，法国数学家阿达马有一个很恰当的评价：实数域中两个真理之间的最短路径是通过复数域。
