什么样的三角形其内角和不等于180°？
我们知道，平面上三角形的内角和等于180°，这是基于平面欧氏几何平行公理所得到的结论。欧氏几何平行公理可表述为：过一条给定直线外的一点，可以作一条而且只能作一条直线与给定直线平行。
如果将上述公理修改为：过一条直线外的一点，可以作至少两条直线与给定直线平行，就得到高斯、波尔约和罗巴切夫斯基等人发现的非欧几何。而如果将其修改为：过一条直线外的一点，不能作任何直线与给定直线平行，就得到另一种非欧几何，称为黎曼的非欧几何。
在高斯等人的非欧几何中，可以证明任何三角形的内角和均小于180°；而在黎曼的非欧几何中，任何三角形内角和均大于180°。可是，这样的结论和我们通常所认识的几何大相径庭：我们用直尺在纸上画出的任何一个三角形，其三个内角之和总是等于180°的。难道真的有内角和不等于180°的三角形吗？或者说，我们在什么地方可以找到这样的三角形呢？
经过长久的努力，人们发现，欧氏几何对应的是平面上的几何，而非欧几何可以对应于某些曲面上的几何。也就是说，内角和不等于180°的三角形可以在曲面上找到。读者可能又要问，所谓三角形，就是用直线段连接三个顶点所得到的图形，在曲面上有这样的直线段吗？那么，让我们先对什么是直线段作一下探讨吧。
在欧几里得的《几何原本》中，并没有对直线段给出明确的定义，只是指出过两点可以引一条直线段。但是，我们知道，两点间的连线以直线段为最短，反过来说，两点间的最短连线就是直线段。由此可知，所谓直线段就是连接两个点的最短连线。曲面上两个点自然也有其最短连线，因此，我们可以将曲面上两点间的最短连线当作曲面上的“直线段”。
比如，在球面上，连接两点的最短连线是大圆弧，即球面上过这两点的半径最大的圆周在这两点间的一段圆弧。也就是说，大圆弧就是球面上的“直线段”，大圆就是球面上的“直线”。在我们生活的地球上，赤道和所有的经线都是大圆，它们都可看作地球上的“直线”。事实上，如果我们在地球上朝一个方向直行，所走的路径就是大圆弧，但我们会认为走的是直线。可见将球面上的大圆当作直线是符合我们的直观感受的。将直线的概念做这样的延拓后，曲面上也就有“直线”了。由于曲面上的“直线”和我们通常理解的直线毕竟有所不同，因此数学上称其为“测地线”。
现在，用大圆弧连接球面上三点所得到的图形就是球面上的三角形（称为球面三角形）。如果测量一下球面三角形的三个内角和，可以发现都是大于180°的（如图1）。例如，地球上由赤道和两条经线所围的三角形，其顶点为北极和赤道上两个点。由于经线垂直于赤道，这个三角形在赤道上的两个顶点处的内角都等于90°，加上北极处的内角，这三个内角之和必定大于180°。
内角和大于180°的三角形我们已经在球面上找到。事实上，球面几何就是黎曼的非欧几何的一个模型。那么，内角和小于180°的三角形呢？这个情形要复杂一些，这样的三角形可以在称为伪球面的曲面上找到，这是由意大利数学家贝尔特拉米发现的。伪球面是在空间直角坐标系Oxyz中，由Oyz平面上曳物线绕z轴旋转一周所得的曲面（如图2）。用伪球面上“直线”（即测地线）连接三点所形成的三角形的三内角和就一定小于180°（如图3）。
那么，除了球面和伪球面，还有什么样的曲面，其上的三角形内角和大于或者小于180°呢？这取决于曲面是如何弯曲的。大数学家高斯引入了一个量——曲率，用来描述曲面的弯曲方式和程度。在这里，我们无法给出高斯曲率的确切定义，但还是可以给出一些直观的介绍。平整的平面的曲率处处等于0，球面的曲率处处为正，而伪球面的曲率处处为负。曲率的正负可以这样看：曲面在一点附近的曲率为正时，过该点的测地线是向同一侧弯曲的；而曲面在一点附近的曲率为负时，过该点的测地线则会向不同的方向弯曲。
例如，图4中球面上两条测地线都向下弯曲，而图4中伪球面上的两条测地线，黑色的向上弯曲，红色的向下弯曲。如果你在正曲率曲面上剪下一块，尝试将其压平，那么，靠近边缘部分会裂开，中间部位会皱起来；而在负曲率曲面上剪下一块压平的话，情况恰好相反，靠近边缘的部分会皱起来，开裂的将是中间部分。尽管这里的介绍不那么精确，你也应该已经对曲率的正负有一个直观的认识了。现在可以告诉你，在正曲率的曲面上，三角形内角和大于180°；在负曲率的曲面上，三角形内角和小于180°。
当然，一些曲面并不能保证曲率处处为正或处处为负。比如，救生圈的外侧曲率是正的，内侧曲率是负的。观察陶瓷花瓶表面，你会发现在瓶肚处曲率是正的，在瓶颈处曲率是负的。所以，如果我们在瓶肚上画一个三角形，它的内角和大于180°；而在瓶颈处画一个三角形，它的内角和就小于180°。
【科学家】波尔约
波尔约（1802—1860），匈牙利数学家，非欧几何的独立创建人之一。他曾潜心于欧几里得第五公设的证明。1820年左右，他转而研究新几何学，其中允许过直线外一点有一束直线不与原直线相交。他把结果告诉自己的父亲。父亲是大数学家高斯的好友，把儿子的研究成果寄给高斯。高斯对此表示称道，但不建议发表，因为他本人早就得到过类似结论，担心受攻击而决定不发表。波尔约为此深感受挫。1832年，波尔约的论文作为父亲一本著作的附录发表，未引起关注。直到去世后，他的工作才被数学界承认。
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