为什么多边形的外角和都等于一个圆周角？
由三角形的内角和都是180°或π，很容易知道，平面上一般n边形的内角和等于（n-2）π。这一点，只需要将多边形从一个顶点出发依次将其切分为n-2个三角形即可证明。这个结论依赖于边数n。一个更一般且更本质的结果是：任何凸n边形（每个内角都小于180°的多边形）的外角和都是360°。这是一个不依赖于边数n的不变量，体现了数学的常数美和统一性。其证明也非常简单。任何一个凸n边形都有n个内角、n个外角，每一个内角及其相关外角之和正好等于1个平角。所以，凸n边形所有n个内角、n个外角之和为n个平角nπ，又已知n个内角之和为（n-2）π，因此n个外角之和必为2π。需要注意的是：对于凹的多边形，要使结论仍成立，某些外角必须被定义成负的。
为什么说n边形的外角和等于2π是一个更本质的结果呢？我们换一个角度对此做一个解释。让一条直线贴着多边形的边逆时针转动，遇到角时就从一边转这个角到另一边，这样，该直线转过的角度就是这个角的外角。如果让这条直线绕多边形的边转一周，再回到起始位置，则该直线所转过的角度，就是多边形的外角和2π。现在让圆周的切线绕该圆周转一周，回到起始位置，立即可以发现，该切线所转过的角度也是2π。这并非巧合，事实上，在平面上任意画一条分段光滑不自交的闭曲线，这条曲线的切线绕曲线一周（遇到顶角就转过顶角），其改变的角度同样也是2π。这显示了这种曲线的内在性质，凸多边形只是其中的一个特例而已。
曲线的切线在一点附近移动单位长度，其所改变的角度大小，描述了曲线在该点附近的弯曲程度：角度越大，曲线越弯曲，反之则较平坦。曲线在这一点处的弯曲程度，称为曲线在该点的曲率。上面的结论说明分段光滑不自交闭曲线各点处的曲率之“和”，再加上转角处的外角和，等于2π。当然由于曲线上的点多到无法数清，这里的曲率之和不再是通常意义上的求和，要用微积分理论里的积分来表示。对曲面上的曲线，也有类似的结论。由于曲面也是弯曲的，曲面也有曲率，我们不但要考虑曲线的曲率，还要考虑曲面的曲率，这就是微分几何里著名的高斯-博内定理。值得一提的是，著名的华人数学家陈省身先生证明了高维的高斯-博内定理，构造了现今普遍使用的“陈示性类”，为现代整体微分几何奠定了基础，成为一代微分几何大师。
【发散思维】你能否给出欧拉公式的严格证明？
【本文关键词】正多面体 欧拉公式
