为什么抛掷硬币多次后出现正反面的次数大致相等？
随机抛掷硬币，硬币落下以后是正面朝上还是反面朝上，每一次的结果都不可预料。正是因为这种随机性，有些人甚至在自己拿不定主意的时候用这个办法来询问“天意”。如果你仅仅抛掷10次硬币，也许其中会有5次正面朝上，5次反面朝上，也有可能是7次正面朝上，3次反面朝上，甚至可能10次都是正面朝上。可是如果抛掷1000次，就能很有把握让正反面朝上的次数不会相差很多。这是为什么呢？
直观地考虑，这是因为各种偶然因素会互相抵消。硬币每一次被抛出，都受到各种因素的影响：手握硬币的方法，抛出硬币的姿势，抛掷点距离地面的高度，空气气流对硬币的影响，地面的高低不平，等等。稍微改变其中任何一个因素，也许最后结果就会相反。但是这些因素的作用是双向的，它们并不特别针对硬币的正面或者反面，只要抛掷的次数足够多，正反两面的出现次数就应该大致相等，这说明通过多次抛掷硬币出现正面的频率，可以估算出抛掷硬币出现正面的概率。进一步推广到所有的随机事件，我们可以做大量的统计，通过计算一个随机事件发生的频率来估算这个事件的概率。
但是，我们必须意识到，不管抛多少次，永远都不可能百分之百地肯定硬币正面朝上的频率正好是50%。那么到底要抛掷多少次，才能确定测量出来的频率就是最后的“概率”呢？
这个问题是由数学家雅各布·伯努利在300多年前解决的。伯努利说，第一，你必须设定一个能够容忍的误差，比如你可以把出现在49.5%～50.5%之间的频率都认为其概率为50%。即使这样，你仍然不能确保每当你抛掷多次硬币，你得到的频率一定在这个范围之内。所以你还必须设定一个能容忍的把握度，比如你可以要求每做100次这样的（每次实验抛掷1000次硬币）实验，其中至少有99次的实验结果要落在49.5%～50.5%这个区间之内。伯努利证明：不管设定的区间多么小，也不管要求的把握度多么高，只要你抛掷硬币的次数足够多，那么你设定的这两个条件就一定能被满足。这就是数学中的“大数定律”。
伯努利说，“即使是最笨的人也应该本能地理解大数定律。”但是要想证明这个严格的数学定理并不容易，事实上，伯努利用了20年时间才完成。我们没必要关心伯努利是怎么证明的，不过如果你好奇的话，可以看它的数学表达式：
现实生活充满各种偶然性。比如一支球队就算再强，我们也不能肯定它每一场比赛都取胜。强队随时都有可能输给弱队，因为，也许他们的主力会受伤，也许全队都会赶上流感生病，也许对手会突然在主场超水平发挥，也许主裁判会偏袒对手等。每一场比赛都有悬念，但是大数定律告诉我们，只要联赛足够漫长，那么强队最后一定能脱颖而出。
大数定律说的是偶然中的必然。科学实验必须大量重复才有意义。大数定律是科学实验和社会统计的基石。正是因为有了这个定律，科学家才相信通过大量的重复试验可以发现世界的真实规律。只要调查的人群足够多，分布足够广泛，你就可以对社会上某一方面的事实做出有把握的判断。
