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为什么抛掷硬币多次后出现正反面的次数大致相等?

随机抛掷硬币,硬币落下以后是正面朝上还是反面朝上,每一次的结果都不可预料。正是因为这种随机性,有些人甚至在自己拿不定主意的时候用这个办法来询问“天意”。如果你仅仅抛掷10次硬币,也许其中会有5次正面朝上,5次反面朝上,也有可能是7次正面朝上,3次反面朝上,甚至可能10次都是正面朝上。可是如果抛掷1000次,就能很有把握让正反面朝上次数不会相差很多。这是为什么呢?

直观地考虑,这是因为各种偶然因素会互相抵消。硬币每一次被抛出,都受到各种因素的影响:手握硬币的方法,抛出硬币的姿势,抛掷点距离地面的高度,空气气流对硬币的影响,地面的高低不平,等等。稍微改变其中任何一个因素,也许最后结果就会相反。但是这些因素的作用是双向的,它们并不特别针对硬币的正面或者反面,只要抛掷次数足够多,正反两面的出现次数就应该大致相等,这说明通过多次抛掷硬币出现正面的频率,可以估算出抛掷硬币出现正面的概率。进一步推广到所有的随机事件,我们可以做大量的统计,通过计算一个随机事件发生的频率来估算这个事件的概率。

但是,我们必须意识到,不管抛多少次,永远都不可能百分之百地肯定硬币正面朝上频率正好是50%。那么到底要抛掷多少次,才能确定测量出来的频率就是最后的“概率”呢?

这个问题是由数学家雅各布·伯努利在300多年前解决的。伯努利说,第一,你必须设定一个能够容忍的误差,比如你可以把出现在49.5%~50.5%之间的频率都认为其概率为50%。即使这样,你仍然不能确保每当你抛掷多次硬币,你得到的频率一定在这个范围之内。所以你还必须设定一个能容忍的把握度,比如你可以要求每做100次这样的(每次实验抛掷1000次硬币)实验,其中至少有99次的实验结果要落在49.5%~50.5%这个区间之内。伯努利证明:不管设定的区间多么小,也不管要求的把握度多么高,只要你抛掷硬币的次数足够多,那么你设定的这两个条件就一定能被满足。这就是数学中的“大数定律”。

伯努利说,“即使是最笨的人也应该本能地理解大数定律。”但是要想证明这个严格的数学定理并不容易,事实上,伯努利用了20年时间才完成。我们没必要关心伯努利是怎么证明的,不过如果你好奇的话,可以看它的数学表达式:

现实生活充满各种偶然性。比如一支球队就算再强,我们也不能肯定它每一场比赛都取胜。强队随时都有可能输给弱队,因为,也许他们的主力会受伤,也许全队都会赶上流感生病,也许对手会突然在主场超水平发挥,也许主裁判会偏袒对手等。每一场比赛都有悬念,但是大数定律告诉我们,只要联赛足够漫长,那么强队最后一定能脱颖而出。

大数定律说的是偶然中的必然。科学实验必须大量重复才有意义。大数定律是科学实验和社会统计的基石。正是因为有了这个定律,科学家才相信通过大量的重复试验可以发现世界的真实规律。只要调查的人群足够多,分布足够广泛,你就可以对社会上某一方面的事实做出有把握的判断。