上海理工大学2019考研大纲：831高等代数

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上海理工大学2019考研大纲：831高等代数

参考教材及参考书：北京大学数学系前代数小组编，2013：《高等代数》(第四版)，高等教育出版社。

课程内容(打*部分内容或章节要求重点掌握)

多项式：

*整除概念，带余除法理论;

最大公因式定义及求法;

*多项式互素的概念与性质;

*因式分解定理和不可约多项式的性质;

*复系数与实系数多项式的因式分解;

行列式：

*行列式的定义;

*行列式性质及按行按列展开法则，并用此计算行列式;

Laplace定理;

*克拉默法则;

*线性方程组：

消元法;

向量组的线性相关与线性无关性，向量组的极大无关组与秩;

矩阵的秩及求法;

线性方程组有解判别定理;

线性方程组基础解系、通解及解的结构;

*矩阵：

矩阵线性运算，乘法，转置及运算律;

矩阵初等变换，初等矩阵;

逆矩阵及其存在条件，求逆矩阵;

分块矩阵运算;

二次型：

*二次型的矩阵表示;

矩阵合同

*可逆线性变换化二次型为标准形;

惯性定理;

*正定二次型判定;

线性空间

线性空间的定义与性质;

*有限维线性空间的基与维数，向量坐标;

*基变换与坐标变换;

*子空间定义，维数与基、维数公式;

*子空间的交与和，直和;

线性空间的同构;

*线性变换

线性变换的运算，线性变换的矩阵

特征值与特征向量;

可对角化问题;

线性变换的值域与核;

不变子空间;

若尔当标准形的概念;

*不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其关系;

*矩阵相似的条件;

若尔当标准形理论及求法;

欧氏空间

内积与欧氏空间定义，度量矩阵;

施密特正交化方法求标准正交基;

*正交变换，对称变换;

*对称矩阵的标准形及用正交线性替换化二次型为标准形;

酉空间介绍。

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