为什么无理数比有理数多得多？
有理数和无理数共同组成了实数。康托尔在发现有理数可以和作为它一部分的正整数一样多之后，很自然就想到了一个问题：实数是否可以和作为它一部分的有理数一样多？经过深入研究，康托尔得出了否定的结论。
为了说明康托尔的结论，我们先来注意一个事实。如图，从点A发出的射线，使得半圆周上的点与实数轴上的点作成一一对应，而垂线又使得（0，1）区间上的点与半圆周上的点作成一一对应，于是可以断言（0，1）区间上的实数与全体实数一样多。
现在，康托尔只需证明，（0，1）区间上的实数不能像有理数那样排成一个无穷序列就行了。对此他用反证法给出了一个非常巧妙的证明：
假设（0，1）区间上的实数可以排成一列，设为x1，x2，x3，…。我们知道（0，1）区间上每一个实数都可以唯一地表示为无限小数，可以将每个xi表示为xi=0.ai1ai2ai3…（i=1，2，…）。现在构造一个新数x=0.b1b2b3…，使得b1≠a11，b2≠a22，b3≠a33，…，以此类推。这样构造出的数x当然是（0，1）区间中的一个实数，但它不可能是上面的数列x1，x2，x3，…中的任何一个数。
这表明无论将（0，1）区间中的实数如何排列，总有至少一个数不能排到这个序列中去。因此，虽然（0，1）区间上的实数和有理数都有无穷多，但它那种无穷（也就是全体实数那种无穷），要比全体有理数那种无穷（也就是全体自然数那种无穷）还大。由于实数去掉有理数剩下的就是无理数，显然无理数全体也是不能排成一个序列的（因为两个序列总是可以合成一个序列），这表明无理数比有理数还要多。
希尔伯特（1862—1943），德国大数学家。1880年，希尔伯特在哥尼斯堡大学获博士学位。1888年，希尔伯特因解决不变量理论中著名的“戈尔丹问题”，首次在数学界引起轰动。1895年，希尔伯特来到格丁根大学任教，从此在那里与克莱因建立起世界数学界的“麦加”。
希尔伯特早年在代数和数论上做出了卓越成就，1909年首先解决了华林猜想。在1900年夏巴黎举行的第二届国际数学家大会上，希尔伯特做了著名的世纪演讲，共提出了23个重大问题，著名的黎曼猜想和哥德巴赫猜想是其第8个问题的一部分。
1933年夏由于纳粹上台，由高斯开创的格丁根数学的伟大传统在维持了100多年后毁于一旦。第二次世界大战期间，希尔伯特与世长辞。希尔伯特在代数、数论、几何学、数学物理、积分方程、集合论、数学基础、广义相对论中的贡献都十分突出。人们评论说，他是数学世界的“亚历山大”，在数学的广大版图上留下了自己显赫的名字。
【发散思维】你知道怎么比较两个无穷集合的大小了吗？
