为什么分数相加要先通分？

在分数乘法运算中，两分数相乘等于分子、分母分别相乘。但在加法运算中，却不能将分子、分母分别相加，而是首先要通分化为同一个分母，然后分母不变、分子相加。这是为什么呢？要回答这一问题，首先要明确分数及其加法的意义。

一个（正）分数是一个数，代表的是把一个整体对象平均分成若干份（这个份数叫作分母），从中提取若干份（这个份数叫作分子）所占这个整体的比例。比如，把一个西瓜平均分成5份，拿出其中的3份，所占整体的比例就是有时候，拿出的份数（分子）超出一个整体平均分出的份数（分母），其含义为，拿出的量超过了一个整体，其数值就大于1，这就是假分数。同一个比例数，用分数可以有多种不同的表示方法，比如，把一个西瓜平均分成5份拿出其中的3份，跟把这个西瓜平均分成10份拿出其中的6份是一样的，也就是说，

这么说来，一个分数其实有一个“家族”，那里有无穷多个成员，比如：这个“家族”里就有这无穷多个成员，其中任何一个都可以代表

那么两个分数相加又是什么意思呢？由于每个分数表示取出的部分占整体的比例，两个分数表示在整体中取出了两个部分，这两个部分合在一起所占整体的比例就是这两个分数之和。

比如计算相当于把两个同样大小的西瓜分别平均分成同样的8份，从其中一个西瓜中取出3份，从另一个西瓜中取出4份，要求取出的总量（两者之和）占一个西瓜的比例。由于取出的总量相当于从一个西瓜中取出7（3+4）份，因此其和为

这就是同分母分数相加，分母不变，分子相加。

如果要计算这时就不能对两个分数简单相加。这相当于第二个西瓜只平均分成2份，从中取出1份，但这跟刚才分成8份取出4份从比例上来看是相同的，因此可以转换为第二个西瓜也分成8份取出4份的情形，这样：

这就是异分母的分数相加，必须把它们转化为同样分法的情况，也就是同分母的情况。

换句话说，在两个异分母分数相加时，我们必须从两个分数“家族”中各选取分母相同的那两个成员来参与运算，比如计算要在的家族和的家族中分别选取分母相同的两个成员和来参加运算（这个过程叫作通分），得到的结果为

【知识点】《左传》中的分数

春秋时代（前770—前476）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一天。《九章算术》的《方田》一章中讲了分数的四则运算。

【发散思维】想一想，如果规定先加减后乘除会怎么样？